リサーチハイライト

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図式的手法は、複雑に絡み合った構造の解析や分類を容易にすることで、トポロジーの研究に変革をもたらしてきた。これらの手法では、構造をコンパクトな視覚的コードとして表現し、数学的に操作することで、異なる記述が同じ物体を表すかどうかの判定や、位相不変量の計算ができる。

しかし、空間の3方向すべてに周期的に繰り返される絡み合った構造については、完全な理論的枠組みが存在しなかった。そのため、異なる単位胞による記述が同一の無限構造を表すのはどのような場合かを厳密に判定する方法がなく、体系的な数学理論の発展が妨げられていた。

AIMRのSonia Mahmoudi助教は、「単位胞を射影して図を得る際に、基準となる特別な方向は存在しません。そのため、単位胞から得られた任意の2つの図は、単位胞内部での変形だけでなく、その単位胞が表す無限構造全体の周期的な変形も反映した形で、同値とみなさなければなりません」と、説明する。

2025年、Mahmoudi助教らの研究チームは、3次元周期タングルの新たな枠組みを導入した¹。その中核となるのが「トリダイアグラム」と呼ばれる新たな表現で、3次元周期タングルを3つの相補的な射影として表す。この表現は、トポロジーを保つ変形の完全な集合と組み合わせることで、異なる記述が同じ基礎構造を表しているかどうかを厳密に判定できる方法となる。

研究チームはこの手法を用いて、3次元周期タングルに対する一般化ライデマイスターの定理を確立した。これは、2つのトリダイアグラムが同じタングルを表すことと、規定された変形操作によって互いに移り合えることが、空間のせん断や拡大縮小といったアフィン変換による違いを除いて同値であることを意味する。また、交差数を新たに定義し、古典的な結び目理論における基本的な不変量の1つを、3次元周期タングルへと拡張した。

「本研究により、結び目理論の手法を用いて、結晶性材料のトポロジカル・モデルなどの絡み合った構造を研究するための新たな基盤が得られます。こうした構造に厳密な図式的記述を与えることで、そのトポロジーを、古典的な結び目と同様に数学的に扱いやすいものにしたいと考えています」と、Mahmoudi助教は語る。

今後研究チームは、トリダイアグラムの枠組みの中で周期構造を比較し、トポロジー的な同値性を判定するための、計算可能な不変量や複雑性の尺度を開発することを目指している。より長期的にはこの基盤が、結晶性固体、高分子、DNAを基にした系において、トポロジーと構造・機能を結びつける一助となることを期待している。

A personal insight from Dr. Sonia Mahmoudi

この研究を通じて、特に印象に残っている場面はありますか？

特に印象に残っているのは、この研究の出発点となったポツダムで、同僚のMyfanwy Evans教授を訪ねたときのことです。私たちはホワイトボードの前ではなく、カフェのテーブルで、毛糸を巻きつけた金属製の立方体フレームを手に、後にこの論文に至るアイデアをどう定式化するか、知恵を絞り合っていました。テーブル上の実体のあるものから出発し、それを記述する数学へと少しずつ形を整えていく。あの光景は、今でも鮮明に覚えている大切な思い出です。

（原著者：Patrick Han）

このリサーチハイライトは原著論文の著者の承認を得ており、記事中のすべての情報及びデータは同著者から提供されたものです。