AIMR数学連携グループセミナー 2024/10/15
日時:2024年10月15日(火)15:30-17:25
場所:AIMR 本館 3C ミーティングスペース
1. 15:35-16:15
Speaker:Ilaria Perugia (University of Vienna)
Title:Structure-preserving discretization of cross-diffusion systems
Abstract:
Several applications in physics, biology, and chemistry involve systems with multiple components, such as gas mixtures, competing population species, and reacting chemical substances. These problems are modeled with nonlinear reaction-diffusion equations that include cross-diffusion terms. Cross diffusion occurs when the flux of one component is driven by the gradient of another component. The main challenges in designing numerical methods for approximating nonlinear cross-diffusion systems are that the diffusion matrix may not be symmetric or positive semidefinite, and that a maximum principle may not be available. In this talk, we present numerical methods based on the boundedness-by-entropy framework introduced by A. Jüngel in 2015. Motivated by the inherent entropy structure of the PDE system, nonlinear transformations involving the entropy variable allow for the enforcement of positivity in the approximate solutions. Specifically, we focus on a Local Discontinuous Galerkin method. By appropriately introducing auxiliary variables, the problem is reformulated so that nonlinearities do not appear within differential operators or interface terms. This results in nonlinear operators that can be naturally evaluated in parallel. The method allows for arbitrary degrees of approximation in space, preserves boundedness of the physical unknowns without requiring postprocessing or slope limiters, and satisfies a discrete version of the entropy stability estimate of the continuous problem.
2. 16:35-17:15
Speaker:野津 裕史(金沢大学)
Title:Adaptive stabilized Lagrange-Galerkin methods: Theory and applications
Abstract:
In flow problems, we often employ small mesh sizes locally to deal with a boundary layer or an interface. Then, due to the CFL condition, we need a small time step size depending on the smallest mesh size. Similarly, when introducing an adaptive mesh refinement technique, we should consider the CFL condition, which requires a small time step size. To overcome this restriction, we employ the Lagrange-Galerkin (LG) method, i.e., a finite element method combined with the method of characteristics. Since the material derivative is discretized along the trajectory of a fluid particle and the function values at upwind points are directly used, the LG method is CFL-free, at least for linear convection-diffusion/Oseen equations, and we can employ a time step size independent of the mesh size. In this talk, we present error estimates of the LG methods for the linear equations and the Navier-Stokes equations. We also present numerical results of their applications to complex flow problems.
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※本セミナーは MathCCS セミナーとの共催です。
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2021年7月19日(月)15時より、岡山大学シニアURAの Bernard Chenevier 氏をお招きして国際共同研究推進に関する意見交換会を開催します。 (参加申し込み)
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公募情報【2021年2月12日掲載】
募集種別:材料科学高等研究所(WPI-AIMR) 数学連携グループ 助教
募集人員:1名
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ターゲットプロジェクトに対する数学議論
日程:2019年4月19日(金)
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話題提供者:福村 知昭 ・教授
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